נקודות קיצון מבגרות 482 – f(x) = sin(2x) + 4חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 16

בגרות 482 · קיץ 2020 מועד ב׳ · שאלה 3 · סעיף א

שיעור 16 – נקודות קיצון מבגרות 482 – f(x) = sin(2x) + 4

פרק 2 – גזירה ומציאת נקודות קיצון

1נוסח השאלה

2סעיף א – שלב 1: הנגזרת

3סעיף א – שלב 2: משווים את הנגזרת ל־0

4סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y

5לבדיקה – הגרף

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = sin(2x) + 4 המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ π .

א. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.

סעיף א – שלב 1: הנגזרת

הפונקציה היא סכום: sin(2x) ועוד המספר 4. גוזרים כל איבר בנפרד.

את sin(2x) גוזרים לפי הנוסחה לסינוס של ax + b . כאן a = 2 :

[sin(2x)]′ = 2 · cos(2x)

📐 נגזרת של סינוס (פונקציה מורכבת)

(4)′ = 0

📐 נגזרת של מספר

f′(x) = 2cos(2x) + 0 = 2cos(2x)

✅ פתרון סופי: f′(x) = 2cos(2x)

📐 נגזרת של סינוס (פונקציה מורכבת)

[sin(ax + b)]′ = a · cos(ax + b)

📐 נגזרת של מספר

(c)′ = 0
הנגזרת של מספר קבוע היא 0

סעיף א – שלב 2: משווים את הנגזרת ל־0

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת, ולכן משווים את הנגזרת ל־0:

2cos(2x) = 0

📐 נקודת קיצון

מחלקים את שני האגפים ב־2:

cos(2x) = 0

הזווית שהקוסינוס שלה 0 היא π2 . לכן:

cos(2x) = cos π2

📐 נקודת קיצון

בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0

סעיף א – שלב 2: משווים את הנגזרת ל־0 · המשך

cos(2x) = cos π2

לפי הנוסחה יש שתי משפחות של פתרונות (הזווית כאן היא 2x ):

2x = π2 + 2πk

📐 פתרון המשוואה cos x = cos a

2x = −π2 + 2πk

מחלקים כל משוואה ב־2 (גם את 2πk ):

x = π4 + πk

📐 פתרון המשוואה cos x = cos a

x = a + 2πk
x = −a + 2πk

סעיף א – שלב 2: משווים את הנגזרת ל־0 · המשך

x = π4 + πk

x = −π4 + πk

מחפשים פתרונות בתחום 0 ≤ x ≤ π . במשפחה הראשונה נציב k = 0 :

x = π4

במשפחה השנייה k = 0 נותן x = −π4 – מחוץ לתחום. נציב k = 1 :

x = −π4 + π = 3π4

סעיף א – שלב 2: משווים את הנגזרת ל־0 · המשך

x = −π4 + π = 3π4

ערכי k אחרים נותנים x קטן מ־0 או גדול מ־π , ולכן בתחום יש שני פתרונות:

x = π4 , x = 3π4

✅ פתרון סופי: x = π4 , x = 3π4

סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y

קביעת סוג הנקודות – נסמן על ציר את שתי הנקודות ואת קצות התחום 0 ו־π , ונציב בנגזרת מספר מכל תחום:

f′(π8) = 2cos π4 ≈ 1.41 > 0

f′(π2) = 2cos π = −2 < 0

f′(7π8) = 2cos 7π4 ≈ 1.41 > 0

את הערך 2cos 7π4 מחשבים במחשבון במצב רדיאנים (R על המסך): 2 cos ( 7 π ÷ 4 ) = ומקבלים 1.41

סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y · המשך

לפני π4 הפונקציה עולה ואחריה יורדת – מקסימום. ב־3π4 להפך – מינימום.

📐 עלייה וירידה

שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:

f(x) = sin(2 · x) + 4

נציב x = π4 :

f(π4) = sin(2 · π4) + 4

📐 עלייה וירידה

f′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘

סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y · המשך

f(π4) = sin(2 · π4) + 4

f(π4) = sin π2 + 4

sin π2 = 1

📐 ערך מיוחד

f(π4) = 1 + 4 = 5

נציב x = 3π4 :

f(3π4) = sin(2 · 3π4) + 4

📐 ערך מיוחד

sin π2 = 1

סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y · המשך

f(3π4) = sin(2 · 3π4) + 4

f(3π4) = sin 3π2 + 4

sin 3π2 = −1

📐 ערך מיוחד

f(3π4) = −1 + 4 = 3

נציב את קצות התחום x = 0 ו־x = π :

f(0) = sin(2 · 0) + 4

📐 ערך מיוחד

sin 3π2 = −1

סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y · המשך

f(0) = sin(2 · 0) + 4

f(0) = sin 0 + 4 = 0 + 4 = 4

f(π) = sin(2 · π) + 4

f(π) = sin 2π + 4 = 0 + 4 = 4

✅ פתרון סופי: מקסימום (π4 , 5) , מינימום (3π4 , 3) , מינימום קצה (0 , 4) , מקסימום קצה (π , 4)

לבדיקה – הגרף

כך נראה הגרף בתחום – רואים את המקסימום, את המינימום ואת שתי נקודות הקצה:

✅ פתרון סופי: הנקודות על הגרף מתאימות לתשובה

📌 סיכום התשובות

סעיף א

מקס. (π4 , 5) , מינ. (3π4 , 3) , מינ. קצה (0 , 4) , מקס. קצה (π , 4)

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא